EJERCICIOS

I.- Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio, todo cliente sin fondos pone una fecha errónea en sus cheques. El 90% de los clientes del banco tienen fondos. Se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada. ¿Qué probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos?

Eventos:

A: Que se extienda un cheque con fecha equivocada
B: Que el cliente tenga fondos

Datos:

P(A|B^c) = 1
P(A|B) = 0.001
P(B)= 0.90
P(B^C)= 0.10

Operaciones:

P(A∩B) = P(B) . P(A|B) = (0.90)(0.001) = 0.0009

P(A∩B^C) = P(B^C) . P(A|B^C) = (0.10)(1) = 0.10

Resultado: P(A∩B^C)/P(A) = 0.10/0.90 = 0.99

II.- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera ingles o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia ingles y el resto francés. El 30% de los que estudian ingles son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Se selecciona un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?

Eventos:

A: Que estudie ingles
B. Que sea chico

Datos:

P(A) = 0.90
P(A^C) = 0.10
P(B|A) = 0.30
P(B|A^C) = 0.40

Operaciones:

P(A∩B) = P(A) . P(B|A) = (0.30)(0.90)= 0.27

P(A^C∩B) = P(B|A^C) . P(A^C) = (0.40)(0.10) = 0.04

Resultado: P(B^C) = P(A∩B) + P(A^C∩B) = 0.63 + 0.06 = 0.69

III.- En una clase en la que todos practica algún deporte el 60% de los alumnos juega al futbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si ademas hay un 60% que no juega al futbol. ¿Cuál será la probabilidad de que se selecciono al azar un alumno que…

a) Juegue solo al futbol?

b) Juegue solo al baloncesto?

c) Practique uno solo de los deportes?

d) No juegue ni al futbol ni al baloncesto?

Eventos:

A: Que juegue futbol
B: Que juegue baloncesto

Datos:

P(AUB) = 0.60
P(A∩B) = 0.10
P(A) = 0.40
P(A^C) = 0.60

Operaciones:

Resultado a) P(A) – P(A∩B) = 0.40 – 0.10 = 0.30

Resultado b) P(B) = P(AUB) – P(A) + P(A∩B) = 0.60 – 0.40 + 0.10 = 0.30

Resultado c) P(AUB) = 0.60

Resultado d) P(A^c∩B^c) = 1 – P(AUB) = 1 – 0-60 = 0.40

IV.- En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene ojos castaños. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

b) Si tiene ojos castaños. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Eventos:

A: Que tenga cabellos castaños
B: Que tenga ojos castaños

Datos:

P(A) = 0.40
P(A∩B) = 0.15
P(B) = 0.25

Operaciones

Respuesta a) P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 0.15/0.40 = 0.375

Respuesta b) P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.15/0.25 = 0.60

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.40 + 0.25 – 0.15 = 0.50

Respuesta c) P(A^C∩B^C) = 1 – P(AUB) = 1 – 0.50 = 0.50

V.- Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

a) Si va a realizar el examen. ¿Cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

b) Si no realiza el examen. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

Eventos:

A: Que escuche el despertador
B: Que no realice el examen

Datos:

P(B|A) = 0.90
P(B|A^C) = 0.50
P(A) = 0.80

Operaciones:

Respuesta a)

P(B|A) = 0.90

Respuesta b)

P(B^C|A^C) = P(A^C∩B^C)/P(A^C) = 0.10/0.20 = 0.50

VI.- En un estudio reciente de 1700 compañias se encontró que 49% de ellas realizan estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad, 61% llevan a cabo pronósticos de ventas a corto plazo y 38% de ellas hacen ambas cosas. Si una de estas compañías se selecciona al azar, encuentre la probabilidad de que:

a) La compañía realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad

b) La compañía lleve a cabo pronósticos de ventas a corto plazo

c) La compañía realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad o lleve a cabo pronósticos de ventas a corto plazo

d) Si se sabe que la compañía lleva a cabo pronósticos de ventas a corto plazo, realice estudios serios sobre la eficiencia de su publicidad.

Eventos:

A: Que realicen estudios sobre eficiencia
B: Que lleven a cabo pronósticos de venta a corto plazo

Datos:

P(A) = 0.49
P(B) = 0.61
P(A∩B) = 0.38

Operaciones:

Respuesta a) P(A) – P(A∩B) = 0.49 – 0.38 = 0.11

Respuesta b) P(B) – P(A∩B) = 0.61 – 0.38 = 0.23

Respuesta c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.49 + 0.61 – 0.38 = 0.72

Respuesta d) P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.38/0.61 = 0.62

VII.- Los accidentes automovilísticos que ocurren en dos ciudades diferentes, A y B, son independientes (como generalmente lo son en las ciudades). En el crucero mas peligroso de la ciudad A la probabilidad de que ocurra un accidente es de 1/25. La probabilidad en el crucero mas peligroso en el crucero de la ciudad B es 1/32. ¿Cuál es la probabilidad de que…

a) En la ciudad A no ocurra accidente en el crucero observado?

b) En la ciudad B no ocurra accidente en el crucero observado?

c) En las dos ciudades no ocurra accidente en los cruceros observados?

Eventos:

A: Que ocurra un accidente en el crucero mas peligroso de ciudad A
B: Que ocurra un accidente en el crucero mas peligroso de ciudad B

Datos:

P(A) = 1/25
P(B) = 1/32

Operaciones

Respuesta a) P(A^c) = 1 – 1/25 = 24/25

Respuesta b) P(B^c) = 1 – 1/32 = 31/32

P(A∩B) = 1/800

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 1/25 + 1/32 – 1/800 = 7/100

Respuesta c) P(A^c∩B^c) = 1 – P(AUB) = 1 – 7/100 = 93/100

VIII.- En un grupo de un CBTis, 50% de los estudiantes aprobó el curso de matematicas V, 45% aprobó el curso de Fisica II, y 45% aprobó el curso de Tecnologia. De ellos, 5% aprobó los tres cursos; 10% aprobó matematicas y física; 10% aprobó matematicas y tecnología pero no física, y el 15% aprobó solamente tecnología.

a) Dibuja un diagrama de Venn para esta situación.

¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó…

b) Solo el curso de matematicas?

c) Solo el curso de física?

Eventos:

A: Que aprueben matematicas
B: Que aprueben física
C: Que aprueben tecnología

Datos:

P(A) = 0.50
P(B) = 0.45
P(C) = 0.45
P(A∩B∩C) = 0.05
P(A∩B) = 0.10
P(A∩C) = 0.10

Respuesta a)

Respuesta b) 50% - 5% - 10% - 10% = 25%

Respuesta c) 45% - 5% - 10% = 30%

IX.- Un carpintero mide un claro donde colocara una puerta que el construirá. La probabilidad de que se equivoque al medir es de 0.04. Ademas, la probabilidad de que la puerta no le guste al cliente es de 0.06. ¿Cuál es la probabilidad de que la puerta…

a) Haya sido bien medida y le guste al cliente?

b) Haya sido bien medida y no le guste al cliente?

c) Haya sido bien medida o le guste al cliente?

Eventos:

A: Que el carpintero se equivoque
B: Que la puerta no le guste al cliente

Datos:

P(A) = 0.04
P(A^c) = 0.96
P(B) = 0.06
P(B^c) = 0.94

Operaciones

P(A∩B) = (0.04)(0.06) = 0.0024

P(AUB) = 0.04 + 0.06 – 0.0024 = 0.0976

Respuesta a) P(A^c∩B^c) = 1 – 0.0976 = 0.90

Respuesta b) P(A^c∩B) = 0.06 – 0.0024 = 0.0576

Respuesta c) P(A^cUB^c) = 1 – 0.0024 = 0.99

X.- Suponga que una gran compañía contrata personal con o sin estudios universitarios para realizar el mismo trabajo. Despues de cierto tiempo, el personal es calificado por los supervisores. Las probabilidades de calificación del desempeño para los dos tipos de empleados se muestra a continuación:

Si se selecciona a un empleado al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que…

a) Tenga educación universitaria?

b) Tenga desempeño malo?

c) No tenga educación universitaria y tenga desempeño bueno?

d) Si se sabe que tiene educación universitaria su desempeño sea bueno?

e) Si se sabe que su desempeño fue malo que tenga educación universitaria?

Eventos:

A: Que tenga educación universitaria
B: Que su desempeño sea bueno

Datos

P(A∩B) = 0.12
P(A^c∩B) = 0.18
P(A∩B^c) = 0.28
P(A^c∩B^c) = 0.42
P(A) = 0.40
P(A^c) = 0.60
P(B) = 0.30
P(B^c) = 0.70

Operaciones

Respuesta a) P(A) = 0.40

Respuesta b) P(B^c) = 0.70

Respuesta c) P(A^c∩B) = 0.18

Respuesta d) P(B|A) = 0.12/0.40 = 0.30

Respuesta e) P(A|B^c) = 0.28/0.70 = 0.40